2010-12-28

愛の愛情

愛の愛情には虚部がない
Love to the affection-th power has no imaginary part.

perihelion

2011年の近日点は1月4日午前3時32分。
ケプラーの第二法則から、公転速度が最も早くなる日である。
日本時間で午前3時半ということはその時およそ正午であるのは西経102.5度付近である。
近日点通過日の頃は南回帰線上でほぼ南中高度が90度近いはずなので、南回帰線と
西経102.5度の経線との交点付近が地球上で一年の中で最も太陽に近づける場所だと
思われる。残念ながらN23.44,S102.5はチリの沖合3260kmあたりのようだ(Powered by Google)


元旦の初日の出よりは近日点通過日の南中のほうが天文学的に意味付けられるに値する
イベントである。
It is the culmination on the date of perihelion which is entitled to be bestowed an astronomical meaning rather than the first sunrise of the year.


2010-12-22

正*数角形

\begin{center}
{\large\textbf{The Regular *-number-gon}}
\end{center}
与えられた有理数$r=\frac{m}{n}$に対して
\begin{align*}
\theta &= 2 \pi \times \frac{1}{r}\\
&= \frac{2 \pi n}{m}
\end{align*}
として、$\theta_0=0$を基準に$\theta_k=k\theta$回転して得られる点を順に
$P_0, P_1, \dotsc$とする。
この点列$\{P_k\}$を順に結んでできる図形を正$r$角形と定義する。
例えば星型は正$\frac{5}{2}$角形乃至正$\frac{5}{3}$角形となる。

このとき、一般に正$\frac{m}{n}$角形と正$\frac{m}{\left| m-n \right|}$角形は
同じ図形となる。

これを無理数に拡張すると、正無理数角形は閉じることがなく、例えば正$\pi$角形は
正三角形を僅かずつずらして回転したような図形になり、その頂点は外接円の円周上に
稠密に存在することがわかる。


複素数に拡張すると、正$x+iy$角形は$\theta$に実部と虚部を含むことになり、最早
平面上に表現できなくなる。$\theta$の実部を平面上の回転角とし、虚部を平面からの
回転角として表現すれば、正複素数角形は球面上に頂点をもつ図形となり、$x,y$がともに
有理数ならば図形は閉じる\footnote{$x=\frac{m}{n},y=\frac{p}{q}$とすると、
正$x$角形は外接円上を$n$周して元の頂点で図形を閉じる。正$x+yi$角形では$\theta=
2\pi \times \frac{1}{x+yi} = 2\pi\frac{x}{x^2+y^2}-2i\pi\frac{y}{x^2+y^2}$
であるから、実部回転角は$\frac{x}{x^2+y^2}$の分子$mnq^2$周後に元の頂点と
同じになり、虚部回転角は$\frac{y}{x^2+y^2}$の分子$n^2pq$周後に元の頂点と
同じになる。よって少なくとも両者の公倍数である$mn^2pq^2$周後に頂点は最初の頂点に一致し、
図形が閉じることになる。但し、m=0の場合は$n^2pq$周後、p=0の場合は$mnq^2$周後
である。}。

このようにして描いた正$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$角形はやはり美しいのだろうか。